Estructuras estocásticas notables en procesos puntuales espacio-temporales y medidas de riesgo bivariantes

Resumen

La modelización estadística constituye un conjunto de formulaciones matemáticas que proporcionan un mejor entendimiento de los fenómenos, especialmente en los que subyacen relaciones entre variables que a su vez poseen influencia aleatoria. En este trabajo de tesis se realiza la modelización estadística del fenómeno delictivo, mediante el desarrollo de estructuras estocásticas en procesos puntuales espacio-temporales, con el propósito de reproducir eventos de la forma más exacta posible a la realidad en función de su evolución en el espacio, tiempo y espacio-tiempo. En primer lugar, se estructura la dependencia espacio-temporal de los procesos auto-excitados espacialmente correlacionados, considerando una ecuación en diferencias estocástica para la intensidad del proceso espacio-temporal, que captura tanto la dependencia debida a la auto-excitación como la dependencia en un proceso espacial subyacente. Se sigue el razonamiento de Clark y Dixon (2021) y Reinhart (2018), pero capturando la no linealidad de las covariables espacio-temporales mediante una estructura aditiva generalizada (GAM) con B-splines. En segundo lugar, se estructura un modelo de proceso espacio-temporal latente, es decir, un procesos de Cox log-gaussiano (LGCP), con una función de intensidad separable de primer orden. La componente determinista temporal es el resultado de un modelo lineal generalizado (GLM) con efectos de covariables meteorológicas, días y meses del año, parámetros de regresión armónica, periodicidad anual de las tasas de incidencia y tendencia global. Para la componente determinista espacial se considera un GAM siguiendo el razonamiento de Diggle et al. (2005), Taylor et al. (2013) y González y Mateu (2021), pero con estimación de suavidad integrada con B-splines univariantes. Por su parte, para la componente estocástica, se considera un campo gaussiano que modeliza la dependencia y la variación espacio-temporal de los eventos. En tercer lugar, se identifican los mecanismos de auto-excitación entre las series de delitos en un tiempo continuo mediante los procesos puntuales de Hawkes. Se estima la tasa de background de cada componente con una reconstrucción estocástica no paramétrica; ésta incluye una periodicidad temporal, una componente espacial separable y una tendencia a largo plazo. Para la estimación semi-paramétrica de los coeficientes de relajación se utiliza máxima verosimilitud para estabilizar y asegurar el proceso de estimación. Se sigue el algoritmo iterativo de Zhuang y Mateu (2019) y Zhuang (2006). Los modelos de procesos puntuales espacio-temporales son buenas herramientas matemáticas para analizar datos, por lo que los modelos descritos proporcionan predicciones confiables, como se muestra a lo largo de esta memoria con datos de delitos. Con la intención de ir más allá de la modelización y las predicciones de patrones puntuales, se formula un procedimiento para identificar las excedencias espaciales en LGCP bivariantes y sus regiones asociadas, así como también la cuantificación de la peligrosidad en términos de probabilidades. Para esto, se modeliza la descomposición espacial de los hurtos (delito sin uso de violencia) y robos a personas (delitos con uso de violencia o amedrentamiento) para representarlos en una variación asociada a un tipo de delito en particular, lo que es posible mediante una estructura estocástica compuesta por una componente dentro del flujo y otra entre flujos. Y se incorpora un enfoque de medidas de riesgo como el Valor en Riesgo y el Déficit Esperado (Malevergne y Sornette, 2006). Estas medidas están basadas en percentiles de la distribución de los delitos que exceden un umbral alto. Se considera una estructura de dependencia mediante la cópula extrema de Gumbel-Hougaard (Salvadori et al., 2007) y distribuciones marginales de Pareto generalizadas (Castellanos y Cabras, 2007; Abad et al., 2014). En general, se adopta un marco bayesiano con MCMC-MALA y máxima verosimilitud para la inferencia sobre los parámetros de los diferentes modelos. Se hace estudio de casos con datos reales de delitos registrados en la ciudad de Riobamba-Ecuador y algunas covariables temporales, espaciales y espaciotemporales. Los resultados obtenidos proporcionan información relevante sobre el modelizado, predicción y comportamiento extremo localizado de eventos delictivos; sin embargo, pueden ser de mucha utilidad para aplicarse a conjuntos de datos de diversas áreas. Finalmente, se exponen las conclusiones y se plantean algunas ideas abiertas.