Superficies mínimas y de curvatura media constante en espacios homogéneos

Resumen

La teoría de superficies mínimas y de curvatura media constante en el espacio euclídeo R3 es un área clásica de la Geometría Diferencial que ha sabido aunar fructíferamente técnicas puramente geométricas con otras de naturaleza analítica como la variable compleja, la teoría geométrica de la medida y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, así como con otros campos de la Topología y del Álgebra. Hoy en día sigue siendo un campo de intensa investigación y desarrollo, con aplicaciones no solo en Geometría Diferencial, sino también en otras ramas de las matemáticas, la biología y la ingeniería. Los orígenes de las superficies mínimas se remontan a 1760 con un problema propuesto por Lagrange anteriormente estudiado por Euler para el caso de superficies de revolución. Este problema consistía en encontrar una superficie de área mínima que tuviera por frontera una curva cerrada y sin auto-intersecciones fijada a priori. Este planteamiento se corresponde con el posterior modelo experimental ideado por el físico Plateau, que consistía en introducir una curva cerrada de alambre fino en una disolución de agua y jabón. Retirando el alambre cuidadosamente, aparece (si existe) una solución a este problema formada por una película de jabón, que tiene en general la forma de una superficie regular y se mantiene en equilibrio por la acción de la tensión superficial del liquido. Según la ley de Laplace- Young dicha superficie tiene curvatura media nula. A las superficies con curvatura media nula se les conoce como superficies mínimas. Este problema de Lagrange aparecía como un ejemplo de un método que hoy en día se conoce como el Cálculo de Variaciones. Así, las superficies área-minimizantes, es decir, aquellas que resuelven el problema de minimización, son puntos críticos del funcional Área (que equivale a ser superficie mínima). Aunque no todos los puntos críticos de este funcional resuelven el problema de minimización, las superficies mínimas observables son además mínimos locales del funcional Área. En particular, son estables, es decir, la segunda derivada del funcional Área es mayor o igual que cero para cualquier variación de la superficie con soporte compacto.