Teoría de estructura de coálgebras

Abstract

En esta memoria se estudia la estructura de las coálgebras mediante (1) la introducción y estudio de las coálgebras coprimas y (2) técnicas de localización. Se hace especial hincapié en las coálgebras de caminos, esto es, aquellas que son definidas por grafos orientados. El primer capítulo es recopilatorio de las definiciones y resultados básicos de la teoría de coálgebras y de las categorías de comódulos asociadas. Así se introduce como técnica de estudio de comódulos los espacios de coeficientes, y los contextos de Morita-Takeuchi para su posterior uso en teoría de localización. En el segundo capítulo se trabaja con el concepto de subcoálgebra coprima de una coálgebra, que dualiza el de ideal primo de un álgebra; se prueba que las subcoálgebras coprimas de C están en biyección con los ideales primos cerrados de su álgebra dual C*. Las subcoálgebras coprimas propocionan más información sobre la estructura de la coálgebra que las subcoálgebras simples para las cuales el especto resulta tener la topología discreta. La localización en categorías de comódulos se aborda en capítulo 3. Aquí se ofrece una sistematización de la teoría desde un nuevo enfoque, que sirve de marco de referencia a los resultados ya conocidos al respecto y aporta nuevos avances. Asociada a un grafo orientado se puede construir una coálgebra con base los caminos en dicho grafo. Esta construcción, que dualiza la construcción clásica del álgebra de caminos, está siendo muy estudiada en la actualidad. En el cuarto se aplica lo estudiado al caso de las coálgebras de caminos. Se tratan en profundidad las subcoalgebras de una tal coálgebra y en particular las subcoálgebras comprimas que caracterizan en diversos casos. Se estudia también las localizaciones de una coalgebra de caminos para las que se prueba que son también coálgebras de caminos asociadas a otro grago que está completamente determinado a partir de ....