Fuzzy data approximation using smoothing methods by multivariate splines and radial function basis spacessimilarity and error analysis

Resumen

El objetivo de esta tesis doctoral es la aproximación de funciones difusas (fuzzy) bivariantes, y datos fuzzy 3D, usando métodos de interpolación o de ajuste suavizado, mediante splines variacionales multivariantes y espacios con bases de funciones radiales, realizando el análisis del error y la similitud correspondientes en cada caso. La tesis está estructurada en cuatro capí­tulos propiamente dichos, redactados en inglés, y un resumen general preliminar en español: Capí­tulo 1 Es una presentación en inglés de la tesis y una breve introducción a los conceptos fundamentales para seguir el resto del trabajo de investigación realizado. El objetivo primordial del mismo es presentar las principales definiciones y conceptos preliminares necesarios para las técnicas de interpolación o aproximación empleadas, que harán uso de B-splines o bien funciones radiales, junto con un breve repaso de ciertas cuestiones teóricas generales requeridas en nuestra investigación, referidas fundamentalmente a los conjuntos y números fuzzy, en particular los trapezoidales, y las operaciones fundamentales usuales entre ellos. En concreto, se introducen algunas de las notaciones necesarias en el espacio real Euclídeo y algunas definiciones importantes que usaremos más tarde, como los conceptos relacionados con convergencia en espacios de Hilbert. Al final introducimos algunos teoremas importantes que son de vital importancia en el estudio de las soluciones de los problemas de aproximación que se tratan en la tesis. La teoría general se enmarca fundamentalmente en espacios de funciones regulares de una cierta clase o bien en espacios de Sobolev. También se introducen brevemente las funciones B-splines, su construcción y las propiedades principales, tanto de estas funciones como de la interpolación mediante las mismas. Presentamos las ideas básicas de la teorí­a de conjuntos fuzzy, definiciones generales, propiedades y operaciones entre los mismos. Finalmente, también son introducidos los métodos de interpolación y ajuste suavizado mediante los splines variacionales (tanto continuos como discretos), así como los espacios generados por funciones de base radial, y el proceso llevado a cabo para la interpolación o ajuste usando este tipo de funciones. Capí­tulo 2 Dado un conjunto de datos de entrada múltiples con un solo dato de salida cada uno, el principal objetivo de la aproximación funcional es obtener un modelo para aproximar los datos de salida, que constituyen la variable dependiente, a partir de los datos de entrada, que constituyen la variable independiente, siendo en este caso los datos, números fuzzy. El problema de interpolación de datos fuzzy fue introducido por Zadeh en 1965, mientras que Lowen en 1990 ya da un teorema de interpolación de Lagrange para datos fuzzy; Kaleva en 1994 presentó también algunas propiedades para la interpolación Fuzzy de Lagrange usando splines cúbicos; mientras que Abbasbandy et al. presentan en 2006 un método de aproximación numérica de funciones fuzzy mediante polinomios fuzzy, y encuentran la mejor aproximación para funciones fuzzy mediante optimización, para obtener un polinomio fuzzy. Por otro lado Valenzuela & Pasadas en 2011 definen nuevos índices de error y similitud para determinar la bondad de la interpolación de datos difusos mediante funciones spline cúbicas. En este capí­tulo se presenta un nuevo método de interpolación de datos fuzzy mediante spline bicúbicos fuzzy como un método de aproximación de funciones fuzzy bivariantes. Este método de interpolación podría ser utilizado en particular para resolver diferentes problemas prácticos en diferentes campos de la química analí­tica, como por ejemplo: búsqueda en bibliotecas de compuestos en un cierto rango espectral infrarrojo y ultravioleta, análisis cromatográfico de muestras de orina para la clasificación de nefritis, clasificación de gasolinas basada en cromatografía capilar de gases, para la calibración de dependencias de concentración de señales lineales y no lineales, para el análisis espectrofotométrico multicomponente, y muchos otros. Al final de este capítulo también se realizan diferentes simulaciones y ejemplos prácticos, de manera que los resultados muestran el buen comportamiento de los índices de error y similitud propuestos. Finalmente, exponemos algunas conclusiones finales al respecto. Capí­tulo 3 Este capí­tulo, como continuación del anterior, trata sobre la aproximación de datos difusos mediante un método de ajuste suave en un espacio de funciones splines fuzzy bicúbicas; se trata por tanto de un método de ajuste de datos difusos mediante splines fuzzy de ajuste que se obtienen mediante la minimización de un funcional cuadrático en el espacio funcional adecuado. Como ya hemos comentado, existen diferentes metodologí­as para la aproximación de datos, aunque la más empleada suele ser usando splines de ajuste. La cuestión ahora es dar métodos apropiados para encontrar la mejor aproximación entre funciones fuzzy a un conjunto de datos dado (que de hecho también va a tener carácter difuso). De hecho, la aproximación de datos dispersos o fuzzy aparece en diferentes areas de investigación. En la literatura científica, también existen diferentes metodologías para el ajuste de funciones o datos utilizando algoritmos de evolución multiobjetivo para la aproximación de números fuzzy mediante splines fuzzy de ajuste cúbicos. En este capítulo se presenta un nuevo método de aproximación de datos fuzzy o funciones fuzzy bivariantes mediante splines bicúbicos fuzzy de ajuste, centrándonos tanto en su cálculo como en posibles resultados de convergencia usando splines bicúbicos variacionales de ajuste. También empleamos algunas de las medidas de similitud de números fuzzy presentes en la bibliografía y presentamos la nueva metodología que proponemos, analizamos mediante varios experimentos el comportamiento del método de aproximación propuesto. Los resultados finales muestran el buen comportamiento de los índices de error y similitud propuestos. Capí­tulo 4 En este último capítulo presentamos una nueva metodologí­a para la aproximación de datos fuzzy mediante funciones de base radial (RBFs). Las funciones de base radial constituyen una herramienta ampliamente usada para la interpolación y el ajuste de funciones, que es también un tema central en el análisis y reconocimiento de patrones. Además las RBFs son vistas a menudo como sistemas de redes neuronales. El tema de la interpolación y la aproximación con funciones de base radial ha sido tratado en varios trabajos y artículos. Nosotros en este último capítulo describimos un nuevo enfoque basado en el uso de RBFs para la aproximación de datos y/o funciones fuzzy de dos variables independientes, generalmente. Nosotros presentamos pues la nueva metodología propuesta para la aproximación con suavizado mediante funciones de base radial de un conjunto de datos difusos, donde también son definidos tres errores e índices de similaridad para diferentes conjuntos de datos difusos. Varias simulaciones y ejemplos son presentados para verificar la efectividad y buen comportamiento de estos errores y medidas de similitud propuestos. También analizamos estadísticamente el comportamiento individual y global de estos índices y medidas. Finalmente, las conclusiones finales son discutidas.