Metodología proyectiva en espacios no convencionalesaplicación a variedades unicursales y curvas de diseño

Resumen

Introducción o motivación de la tesis. La motivación de esta tesis obedece a una idea expuesta en el IV Congreso de Ingeniería Gráfica celebrado en Gijón en 1993. En síntesis, allí se expuso que los geómetras de todos los tiempos han trabajado de forma ímproba durante más de dos milenios para llegar a elaborar una ciencia muy completa, pero que su avance se hizo ignorando el moderno entorno estructuralista del Álgebra que le da sustento. La tesis pretende contribuir al rescate de viejas páginas geométricas que fueron escritas ignorando el citado fundamento estructuralista y que al ser rescatadas muestran una riqueza que, incluso sus propios creadores no hubieran podido llegar a sospechar. Muchos de aquellos viejos teoremas no solamente son generalizables, sino exportables a otros entornos desprovistos de naturaleza gráfica. Contenido de la investigación. El trabajo de investigación se desarrolla a lo largo de 230 páginas distribuidas en diez capítulos. El primero de ellos se dedica a exponer el plan de trabajo, justificar el contenido y resaltar los aspectos novedosos y aplicados que pueda tener el mismo. En el capítulo II se exponen los conceptos básicos que dan fundamento a toda la tesis. Se recuerda muy brevemente el concepto abstracto de espacio proyectivo y se hace mención de todos los que se han considerado espacios convencionales ampliamente estudiados por los tratadistas clásicos. A continuación se relacionan algunos, que sin salirse del entorno gráfico, su estudio apenas si ha sido abordado bajo la luz estructuralista del Álgebra. Sabemos, por ejemplo, que ha habido autores que han hecho estudios muy completos de cónicas homofocales, pero mucho de su trabajo se habría efectuado con mucha más facilidad y mayor rendimiento si hubiesen partido de la base de que forman espacio proyectivo unidimensional. El capítulo se termina introduciendo lo que creemos un concepto novedoso. Nos referimos a los espacios de bipuntos, birrayos, tripuntos, etc. Estos espacios nos serán de gran utilidad para la deducción de determinadas propiedades gráficas. El capítulo III está dedicado por completo a la generalización bajo todos sus aspectos del concepto de involución donde se establecen resultados tan curiosos como que las involuciones de los puntos de una recta son las rectas del espacio bidimensional de bipuntos contenidos en ella. Una vez establecidas las bases del trabajo, entramos de lleno en el capítulo IV con la idea central de la tesis: las variedades unicursales. Se define el concepto general de variedad unicursal para centrarse enseguida en lo que son las curvas unicursales en sí mismas. A un lado quedan infinidad de espacios útiles como pueden ser superficies regladas con arista de retroceso unicursal, superficies polares de curvas unicursales, cúbicas alabeadas, cuárticas unicursales alabeadas, etc. Cualquiera de estos temas debidamente desarrollados podría ser motivo una nueva tesis. En este capítulo se expone un teorema general sobre involuciones que viene a generalizar ampliamente teoremas tan clásicos como el de Desargues aplicado a los haces de cónicas. Se exponen ejemplos de cierta complejidad donde se muestra la potencia del teorema para deducir con algunos cálculos escasos propiedades gráficas de carácter complicado. En algún momento, para ahorrar algún paso tedioso se ha recurrido a un calculador simbólico. El capítulo siguiente todavía tiene una importante componente teórica. Nos estamos refiriendo a la generación proyectiva de cúbicas, tema del más alto interés por sus aplicaciones al mundo del Diseño Asistido. Después de las cónicas, las cúbicas son las siguientes en complejidad y, aunque hay estudios muy completos sobre ellas, volvemos a las mismas consideraciones de siempre. Fueron hechos antes de la estructuración algebraica. Los restantes capítulos podemos decir que son aplicaciones. En el capítulo VI se hace un análisis proyectivo de la estrofoide, que tal vez sea la más utilizada dentro de las cúbicas. Estudiamos distintas generaciones puntuales proyectivas y terminamos rellenando un hueco que dejó abierto Sondesa [31] al estudiar las cuárticas bicirculares como envolventes de circunferencia ortogonales a una circunferencia fija y cuya deferente es una cónica. En el caso en que esta cónica es parábola la cuártica se convierte en cúbica y es precisamente el caso que exponemos aquí. En el capítulo VII hacemos un estudio detallado de una gran desconocida: la deltoide. En principio llamó nuestra atención por las posibles aplicaciones mecánicas en el campo del motor trocoidal, pero a medida que nos adentramos en su estudio han sido numerosas las sorpresas que hemos ido descubriendo de la citada curva. Tal vez la mayor de ellas haya sido el ver que, a pesar de su apariencia tan distinta, deltoide y cardioide son la misma curva desde el punto de vista algebraico y que pueden estar relacionadas por una transformación proyectiva de coeficientes complejos. Hemos llegado, incluso a determinar una de estas transformaciones para una posición particular de ambas curvas. Se estudia una generación proyectiva puntual como cuártica y asimismo una generación tangencial como curva de clase tres. El capítulo se termina relacionando la deltoide con la recta de Simson dando así un significado proyectivo a esta recta tan conocida por todos, pero que su entrada en la Geometría siempre se ha considerado muy alejada del campo proyectivo. Las cónicas, que se han estudiado bajo tantos aspectos, no podían faltar en una tesis sobre variedades unicursales. En el capítulo VIII hemos dedicado una breve pincelada sobre las mismas. Podían ser innumerables los temas a tratar, pero hemos prestado nuestra atención solamente a los puntos concíclicos que definen una involución cuaternaria sobre la cónica. El tema se entronca con el de puntos de normales concurrentes que definen una involución cuaternaria de rango dos. Esta breve mención la terminamos exponiendo bajo este punto de vista un viejo preciosismo: la circunferencia de Joachimstal. El capítulo IX está dedicado a la lemniscata de Bernoulli. Se estudian las condiciones de puntos alineados y puntos concíclicos así como las distintas involuciones que pueden definirse sobre la curva. Se incluyen diversas formas de generación siguiendo la escuela de Steiner generalizándola para los nuevos espacios proyectivos. El capítulo X, para cerrar la exposición con un aspecto aplicado se hace un estudio proyectivo de las cúbicas de Bezier, germen de todas las curvas que se utilizan en el Diseño Asistido. Conclusión A la vista del trabajo desarrollado podemos concluir que las variedades unicursales pueden entrar de lleno dentro del campo proyectivo aprovechando todo el amplio desarrollo gráfico que tuvo esta metodología a lo largo de casi dos siglos con los altibajos que la historia le ha deparado. Comenzó tímidamente con Poncelet en el primer cuarto del siglo XIX para caer casi en el olvido en el último cuarto del siglo XX tras haber alcanzado su época de esplendor en la primera mitad del mismo siglo. La gran cantidad de líneas requeridas para resolver un problema la hacían inoperante. Hoy la citada metodología ha vuelto a resurgir por la importancia que tiene en el desarrollo de algoritmos gráficos pasa los sistemas de Diseño Asistido. A lo largo de la exposición se muestra una importante serie de líneas abiertas para futuros investigadores.