Resolución numérica de ecuaciones integrales e integro-diferenciales de fredholm

Resumen

Las ecuaciones integrales constituyen un campo con entidad propia dentro de las matem\'aticas, que adem\'as ha jugado un papel fundamental en el desarrollo de importantes aspectos de las mismas. Tal es el caso de la cl\'asica teoría de existencia y unicidad de soluci\'on para ecuaciones integrales de Fredholm en espacios de Hilbert, cuyo colof\'on, el \textsl{teorema de la alternativa de Fredholm}, supone una extensi\'on natural para cierto tipo de operadores, de los resultados finito-dimensionales correspondientes a sistemas de ecuaciones lineales. Otro resultado que hunde sus raíces en el estudio de las ecuaciones integrales y, sin lugar a dudas, es una de las herramientas m\'as importantes del an\'alisis no lineal es el \textsl{teorema del punto fijo de Banach} que, adem\'as, constituye el punto de partida en nuestro trabajo. El inter\'es que despierta este tipo de ecuaci\'on no es, sin embargo, exclusivamente te\'orico. Su estudio viene motivado tambi\'en, y de forma fundamental, por su versatilidad en el modelado de un sinfín de situaciones provenientes de las m\'as variadas \'areas de las ciencias, tales como la física, la biología o las finanzas, por citar algunas. La investigaci\'on desarrollada al respecto es ingente, y como prueba de ello citamos las referencias bibliogr\'aficas \cite{bas-mal-has,mak,sha-deh,sha-whi,zha}. En este sentido, otra clase de ecuaci\'on relacionada con la integral, y que presenta ciertas similitudes, es la integro-diferencial. En concreto, su aplicabilidad al modelado de problemas del mundo real puede consultarse en \cite{dya-mar,he,nef-nik}. Sin embargo, y a pesar de la relevancia que acabamos de apuntar de las ecuaciones integrales (e integro-diferenciales), su resoluci\'on mediante m\'etodos explícitos es posible \'unicamente en contados casos, que como cabe esperar, son en su mayoría bastante artificiosos. La necesidad de resolver ecuaciones integrales, a menudo muy complejas en el contexto de las aplicaciones, convierte en obligado su estudio num\'erico, y es en este estudio en el que se enmarca la memoria que presentamos. En el segundo capítulo de la misma nos centramos en exponer, a grandes rasgos, algunos de los algoritmos desarrolados hasta la fecha para resolver num\'ericamente alg\'un tipo concreto de ecuaci\'on integral o integro-diferencial, englob\'andolos seg\'un el enfoque seguido en \textsl{directos} e \textsl{iterativos}. Esta clasificaci\'on se basa en dos diferentes formas de escribir las ecuaciones objeto de estudio, utilizando un adecuado operador $T$ en cada caso. Para ilustrar dicha clasificaci\'on consideramos el segundo tipo de ecuaci\'on trabajada en la memoria, a saber, la \textsl{ecuaci\'on integral de Fredholm de segunda clase no lineal} que viene dada por $$ f(x) = \lambda u(x) - \int_a^b k(x,y,u(y))dy, \qquad (x\in [a,b]), $$ donde $a<b$, $\lambda \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, las funciones \textsl{n\'ucleo} $k:[a,b]^2\times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ y $f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ son conocidas, y $u:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ es la funci\'on \textsl{inc\'ognita}. Si exigimos ciertas condiciones a las funciones dato, podemos definir el operador $T: C[a,b] \longrightarrow C[a,b]$, para cada $u\in C[a,b]$, como: $$ Tu:=\int_a^b k (\cdot,y,u(y))dy, $$ y reescribimos la ecuaci\'on como $$ f=(\lambda I -T)u. $$ Esta escritura sugiere un enfoque \textsl{directo}, con algoritmos como \textsl{colocaci\'on} o \textsl{Galerkin}, o de forma m\'as general los de \textsl{proyecci\'on}. En cambio, si la ecuaci\'on se reformula como $$ u=\frac{1}{\lambda} \left( f +Tu \right), $$ entonces se trata de buscar un punto fijo del operador $\displaystyle \frac{1}{\lambda} \left( f +T \right)$, por lo que resulta adecuado aplicar un m\'etodo \textsl{iterativo}. Es este segundo enfoque en el que se enmarcan los principales resultados de este trabajo. La descripci\'on de estos dos tipos de m\'etodos nos pondr\'a en condiciones de presentar en los siguientes capítulos los m\'etodos num\'ericos originales que hemos desarrollado para aproximar la soluci\'on de ciertas ecuaciones integrales e integro-diferenciales, a la vez que nos permitir\'a destacar las fortalezas de los mismos. En concreto, nos ocupamos de tres tipos de ecuaciones, las integrales mixtas de Volterra--Fredholm de segunda clase, las integrales de Fredholm de segunda clase y las integro-diferenciales de Fredholm. Se\~nalemos inicialmente que nos centraremos en ecuaciones cuyos dominios son intervalos compactos de n\'umeros reales, tanto en el caso integral como en el integro-diferencial. La extensi\'on a dominios m\'as generales de $\mathbb{R}^N$ no supone, en la mayoría de los casos, m\'as que una peque\~na complicaci\'on expositiva, pero sigue las mismas ideas. Concluimos el segundo capítulo, de car\'acter introductorio, exponiendo brevemente resultados conocidos que garantizan, bajo ciertas hip\'otesis, la existencia de una, y s\'olo una, soluci\'on para las ecuaciones consideradas siempre con datos continuos. El Capítulo 3 se ocupa de describir los objetivos principales y la metodología usada en la elaboraci\'on de esta memoria. En el cuarto capítulo desarrollamos de manera resumida y conjunta las principales ideas y t\'ecnicas que componen los resultados originales de la memoria y que de forma detallada se presentan en formato de publicaci\'on correspondiente a tres artículos en la Secci\'on 4.3. Partimos de la reescritura de cada una de las ecuaciones mencionadas en t\'erminos de un adecuado operador $T$ y expresamos la soluci\'on, equivalentemente bajo adecuadas condiciones, como el \'unico punto fijo de dicho operador. Como hemos comentado m\'as arriba, esta reescritura sugiere el uso de un m\'etodo iterativo en el que partiendo de una aproximaci\'on inicial $\phi_0$ obtengamos la sucesi\'on $T^n(\phi_0)$ que converge a la soluci\'on de la ecuaci\'on. Es obvio que si en cada iteraci\'on fuese posible calcular explícitamente la expresi\'on $T^m(\phi_0)$, para cada $m$ tendríamos una aproximaci\'on de la soluci\'on del problema. Pero, salvo para casos muy particulares, este c\'alculo explícito no es posible en la pr\'actica. Por ello, la idea de los m\'etodos propuestos es aproximar, en cada iteraci\'on, la imagen por el operador $T$ de la iteraci\'on anterior por una funci\'on obtenida usando adecuadamente, y de forma diferente en cada caso, proyecciones de funciones en adecuadas bases de Schauder. Por ello iniciamos el Capítulo 4 recordando la definici\'on y algunas propiedades b\'asicas de las Bases de Schauder en los espacios de Banach de las funciones $C([a,b])$ y $C([a,b]^2)$ dotados de su norma usual del m\'aximo y explicamos las ideas generales del m\'etodo propuesto. El primer tipo de ecuaci\'on que se estudia es el de la \textsl{integral mixta de Volterra--Fredholm lineal}, es decir, una ecuaci\'on de la forma $$ f(x) = \lambda u(x) - \int_a^x \widetilde{k}(x,y)u(y)dy - \int_a^b k(x,y)u(y)dy, \qquad (x\in [a,b]), $$ donde $a<b$, $\lambda \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$, las funciones \textsl{n\'ucleo} $k, \widetilde{k}:[a,b]^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ y $f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ son conocidas, y $u:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ es la funci\'on \textsl{inc\'ognita}. Para este tipo de ecuacíon se proponen y comparan dos m\'etodos num\'ericos. Un primer m\'etodo, enmarcado en el planteamiento de los m\'etodos directos, m\'as concretamente, basado en el m\'etodo de colocaci\'on utilizando un tipo particular de funciones spline y un segundo m\'etodo que proporciona una primera aproximaci\'on a los m\'etodos iterativos que se desarrollaran con mayor generalidad y para otro tipo de ecuaciones. Adem\'as, se incluye una comparaci\'on de los resultados num\'ericos obtenidos para diferentes ecuaciones. Continuamos con el estudio de la \textsl{ecuaci\'on integral de Fredholm} presentada m\'as arriba. Para resolver dicha ecuaci\'on se propone un m\'etodo iterativo que sigue la idea descrita m\'as arriba. La principal aportaci\'on y novedad introducida en este trabajo es el uso de bases de Schauder bidimensionales en el espacio de Banach $C([a,b]^2)$. El uso de estas bases permite salvar las dificultades del m\'etodo introducido para la ecuaci\'on anterior, en el sentido que es aplicable a ecuaciones no lineales sin mayores restricciones en su funci\'on n\'ucleo que las derivadas de la aplicabilidad del teorema del punto fijo de Banach. Hacemos tambi\'en un estudio detallado del error cometido al aplicar el m\'etodo y con diferentes ejemplos num\'ericos que ilustran su comportamiento. Concluimos el Capítulo 4, situ\'andonos ya fuera del ambiente puramente integral, con el an\'alisis de la \textsl{ecuaci\'on integro-diferencial} de Fredholm, que no es m\'as que el problema integro-diferencial con valores iniciales: $$ \left\{\begin{array}{l} u'(x) = f(x) + \displaystyle\int_a^b k(x,y,u(y))dy,\qquad (x\in [a,b]), \\ u(a)=u_0 \\ \end{array} \right. $$ siendo $u_0\in \mathbb{R}$, $ f: [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ y $k: [a,b] \times [a,b] \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funciones conocidas y $u:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ por determinar. Para su resoluci\'on se extienden los resultados anteriores a este tipo de ecuaciones, analizando el comportamiento del m\'etodo en diferentes ejemplos. Por \'ultimo, el Capítulo 5 est\'a dedicado a recoger las conclusiones generales del trabajo presentado y a analizar los problemas abiertos para futuras investigaciones.