Aproximación de curvas y superficies mediante métodos variacionales con y sin malla. Aplicación a trastornos temporomandibulares

Resumen

Esta memoria tiene por objetivo el desarrollo de métodos de tipo variacional para la aproximación de datos y/o curvas y superficies y la resolución aproximada de problemas diferenciales. Asimismo el establecimiento de una metodología para la detección de trastornos temporomandibulares. Con respecto a la aproximación de curvas y superficies, siguiendo los métodos de [6] para la aproximación mediante métodos variacional a partir de problemas de contorno, se determinan dos tipos de procesos: métodos con malla, cuyo modelo es el método de los elementos finitos, y métodos sin malla, cuyo modelo es la aproximación en espacios vectoriales generados por funciones de base radial. A continuación se establece una comparación entre ambos métodos basada en los resultados obtenidos para ciertos ejemplos numéricos y gráficos de aproximación de la superficie solución de un problema de contorno lineal elíptico. Un problema del análisis numérico actualmente en desarrollo es el diseño de métodos de resolución numérica de problemas de contorno no lineales. En este sentido se desarrolla en la memoria un algoritmo de tipo iterativo para la resolución aproximada de un problema de contorno no lineal de orden 2, mediante discretizaciones tanto en espacios construidos por métodos con malla como por sin malla. Con respecto a la detección de trastornos temporomandibulares no hay hasta la fecha estudios ni información alguna de su modelización matemática, pero teniendo en cuenta más de un centenar de variables asociadas a los mismos, se inicia la investigación de este tema con un primer estudio en estadística multivariante con el objetivo de manipular grupos locales de trastornos y evitar así un estudio global para el que, por su complejidad, es poco aconsejable realizar un análisis íntegro debido a las diversas clasificaciones existentes y a los múltiples estudios nosológicos realizados, ligados a índices odontológicos definidos mediante matemática elemental de medias y/o ponderaciones de mediciones realizadas, sin llegar a la clasificación o entendimiento de los mismos. Para ello, se elige llevar a cabo un análisis factorial obteniendo patrones dentro de 11 grupos, similares a los obtenidos en [5]. Un primer paso para estudiar matemáticamente los trastornos temporomandibulares requiere la construcción de un sistema informático basado en el diagnóstico de síntomas y signos para la determinación de las variables relevantes en los 11 factores encontrados, pero es insuficiente, meramente un sistema de clásico de gestión. Dada la naturaleza variable de los examinadores y los sujetos examinados, la obtención de resultados lleva implícito cierto grado de incertidumbre, por lo que se hace necesaria la intervención de un sistema de inteligencia artificial. Es por ello que, para la optimización de los resultados que se obtengan, el sistema original se debe transformar en un sistema experto difuso, para el diagnóstico y posterior pronóstico de trastornos temporomandibulares, aplicable a cualquier sujeto de prueba que cumpla con los criterios de exclusión de la muestra advertidos en [1]. Este sistema experto difuso facilita indicadores de pertenencia del avance de algunos de los factores del trastorno de los que el sujeto de prueba pueda estar afectado. Sin embargo no cuenta con una componente gráfica o visual con la que los pacientes se vean identificados, por lo que se procede a construir un prototipo de mandíbula humana, mediante CAD, adaptable a cualquier individuo y estado del trastorno, para poder lograr un mejor diagnóstico del mismo. La elección de un programa de diseño debería pasar por diferentes etapaspara hacer el modelo lo más realista posible dentro de las limitaciones que se advierten desde su planteamiento en el proyecto original. Para ello se deben acoplar algunas componentes físicas como fuerzas, las propiedades de los materiales, y, en especial, la geometría de las curvas utilizadas en su diseño bidimensional a partir de las numerosas tomografías realizadas al paciente antes de ser tratadas para la formación del sólido, por lo que se decide utilizar el software Solidworks para el diseño de la mandíbula. La ejecución del programa integra curvas spline y B-spline, por lo que un siguiente paso realizado en [3] es un estudio de métodos de interpolación unidimensional, haciendo énfasis en la interpolación polinómica y spline, para lo que se desarrollaron los fundamentos de la mejor aproximación de funciones sobre espacios funcionales adecuados, en los cuales la solución aproximada de un problema por splines puede ser discretizada, y garantizar su convergencia numérica minimizando el error. Se busca la solución de un problema de aproximación spline, y de una ecuación diferencial dada por las condiciones de movimiento asociadas al problema de manera simultánea, de tipo variacional. Se realiza una revisión del método de los elementos finitos sólo a nivel de usuario, para hacer uso del software FreeFem++, con la presentación de un modelo simple, pero realista, construido por el equipo de investigación en odontología que trabaja con el suscrito, constatando que los resultados clínicos son los esperados de acuerdo a la modelización matemática realizada, así como el estudio completo del modelo tridimensional en espacios funcionales adecuados de una mandíbula sujeta a un trastorno temporomandibular. En esta esta tesis se realiza la construcción del modelo matemático de oclusión de un sujeto de prueba con algún trastorno temporomandibular utilizando ecuaciones en derivadas parciales, cuya resolución y simulaciones numéricas en espacios funcionales adecuados se desarrollan a partir de dos métodos completamente distintos que completan el estudio realizado por [58]: el primero basado en mallas (elementos finitos) y el segundo simplemente a partir de nodos apropiados (sin malla o meshless). El trabajo se divide en ocho capítulos. En el primer capítulo, preliminares, se introducen las notaciones necesarias para el estudio de la teoría de aproximación que se propone, el marco funcional en el que se desarrolla, diferentes propiedades y resultados clásicos en espacios normados y espacios de Hilbert y los distintos espacios funcionales que serán usados. Asimismo, la versión finito- dimensional de los teoremas de Green y de la divergencia. Como base fundamental para el método de discretización que se utiliza, se realiza una revisión de los métodos de interpolación unidimensional que se van a utilizar y una introducción a los espacios de funciones B-splines, se introduce el método de las diferencias finitas unidimensional utilizado en la discretización de la variable temporal del modelo de oclusión y, finalmente, algunos resultados de funciones definidas positivas para el análisis de los métodos sin malla. Por último, se hace una revisión de los splines variacionales del capítulo 4 de [6]. Se parte de un dominio tridimensional, de una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico, un conjunto de puntos de aproximación de R3 y unas condiciones de contorno que afectarán a toda la frontera del dominio tridimensional, motivo por el cual se exige que la frontera del dominio sea lipschitziana. En estas condiciones se define la superficie variacional como solución de un problema de minimización. Se demuestra la unicidad de esta superficie y se establece una caracterización de la misma. Asimismo se estudia la convergencia, en cierto sentido, de la superficie variacional hacia una función de un espacio adecuado cuando los datos de aproximación proceden de ésta, y se dan cotas del error cometido al efectuar dicha aproximación. En el segundo capítulo se introduce el método de los elementos finitos y se da una descripción completa del uso de este método para aproximar las soluciones de problemas diferenciales en forma variacional sobre un espacio funcional finito-dimensional adecuado. Un enfoque bien conocido para aproximar dichos problemas es el método de Galerkin para problemas similares discretos sobre subespacios de dimensión finita del espacio original. Este método es descrito en detalle. Se estudian los tres aspectos básicos en la construcción de un espacio de dimensión finita adecuado: la triangulación establecida sobre el dominio, la tipología de las funciones de estos espacios y la base de funciones que se utiliza. Se describen además algunos tipos de elementos finitos en los cuales los grados de libertad son valores en puntos, como es el caso de los de tipo Lagrange, o derivadas direccionales útiles para su ensamblaje. En el tercer capítulo se estudia el método de simulación numérica sin malla conocido por su terminología inglesa como meshless consistente en la aproximación en un espacio de dimensión finita generado por funciones de base radial, esto es, funciones especiales con centros en puntos del dominio paramétrico, y finaliza con su aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. En el cuarto capítulo se estudia la aproximación mediante métodos variacionales de problemas de contorno no lineales de orden 2 con condiciones de Dirichlet. Se establece la formulación variacional del problema de contorno considerado en una sucesión de subespacios de dimensión finita creciente. Se obtiene una sucesión de aproximaciones cuyo cálculo se realiza mediante un algoritmo iterativo que se describe. Se demuestra la existencia y unicidad de solución de cada una de las iteraciones y la convergencia de esta sucesión de aproximaciones a la solución exacta del problema. En el quinto capítulo se procede a examinar el problema variacional y de minimización de la elasticidad lineal. De acuerdo a los preliminares, para realizar la formulación variacional y ajustar los resultados al teorema de Lax-Milgram, se necesita especificar un espacio funcional, un subespacio finito-dimensional del mismo, una forma bilineal y una forma lineal, y, por la linealidad del problema, se termina planteando un sistema de ecuaciones lineales derivado de la elasticidad lineal tridimensional. En el sexto capítulo se definen los términos odontológicos utilizados en la tesis como el trastorno temporomandibular, haciendo un resumen necesario para el entendimiento y la posterior construcción del modelo matemático de la oclusión. Asimismo se define el sistema de recolección de información de síntomas y signos de un paciente con trastornos temporomandibulares utilizado, así como las condiciones necesarias y suficientes para realizar un adecuado análisis factorial, el cual, integrado a las condiciones del sistema experto difuso, permite la definición de las funciones de soporte compactoreferidas a la densidad de fuerza necesaria en la formulación del modelo. En el séptimo capítulo se realiza la descripción biomecánica del proceso de oclusión. Para tal fin se definen matemáticamente conceptos necesarios como posición, movimiento, deformación, desplazamiento, tensión y todo concepto físico necesario para el entendimiento de los resultados obtenidos del proceso de oclusión. En este sentido, se describe el problema de contacto de Signorini o ley constitutiva del problema de contacto sin fricción, que generan las condiciones de frontera utilizadas en la formulación del modelo. A su vez se describen los supuestos del modelo de oclusión planteado, la definición de la mandíbula como la superficie variacional utilizada, las condiciones de frontera y las fuerzas que intervienen en el proceso. Se formulan dos problemas estructurados como ecuaciones en derivas parciales, uno cuasi-estático y otro dinámico, obteniendo una ecuación de evolución con condiciones de contacto en la frontera, cuya solución numérica es objeto de estudio del último capítulo de la tesis. En este capítulo también se estudian los espacios funcionales y la formulación variacional del problema planteado. Se demuestra un resultado de existencia y unicidad del mismo y la convergencia de la solución en su versión discreta a la solución exacta del problema original. En el octavo capítulo, tras introducir las propiedades físicas de la mandíbula en su versión constitutiva, el análisis de fuerzas en la articulación temporomandibular y el por qué de cada fuerza utilizada en la simulación con soporte en la tesis [4], se realizan las simulaciones numéricas con las mismas para reconstruir, mediante métodos variacionales con y sin malla, el modelo matemático de la oclusión de un paciente con trastornos temporomandibulares, y el análisis de deformaciones y desplazamientos para contrastar los resultados obtenidos con los resultados odontológicos esperados. Se constata que su similitud contrasta de este modo las hipótesis planteadas en esta tesis, llegando a la conclusión de que la réplica de las ideas, formulación, análisis y obtención de los resultados del modelo matemático planteado, así como sus mejoras bajo supuestos más realistas, pueden servir de protocolo para futuras investigaciones de enfermedades crónico-degenerativas en el campo de la odontología y, en general, de la medicina. Las principales aportaciones realizadas son: 1. La discretización de los métodos variacionales para la aproximación de curvas y superficies y la resolución numérica de problemas de contorno, mediante métodos sin malla basados en funciones de base radial (FBR). 2. El estudio contrastado de los métodos de aproximación con y sin malla. De este estudio se concluye que: a. Que los resultados obtenidos para los métodos sin malla son mejores que los obtenidos para los métodos con malla. b. Después de un resultado numérico obtenido, si es requerido obtener mejores resultados en el método con malla se debe empezar todo el proceso nuevamente debido al mallado respectivo, y por otro lado en el método sin malla sólo es necesario agregar más centros o puntos de colocación. c. Ambos métodos son buenos, sin embargo los polinomios son más fácilmente manipulables que las FBR. d. Existen más resultados de convergencia para algunas clases de elementos finitos, los resultados acerca de la aplicación de FBR e. Finalmente, ningún método es dicho mejor que el otro, lo que se gana en simplicidad es perdido en tiempo de computación y viceversa. 3. El diseño de un método de tipo variacional para la resolución aproximada de problema de contorno no lineales de orden 2. Este método es de tipo iterativo y se ha demostrado tanto la existencia y unicidad de solución en cada iteración, como la convergencia de la sucesión de aproximaciones a la solución exacta del problema de contorno. 4. Diseño de un sistema experto para el diagnóstico y posterior pronóstico de trastornos temporomandibulares que determinan el factor al que pertenece un individuo diagnosticado. 5. Diseño de un sistema experto para el diagnóstico y posterior pronóstico de trastornos temporomandibulares que determinan el factor al que pertenece un individuo diagnosticado. 6. Modelización matemática del proceso de oclusión. La modelización ha consistido en un problema de evolución mixto con condiciones de contorno en espacio y condiciones iniciales en tiempo. También se ha modelizado como un problema variacional asociado al anterior problema de evolución. 7. Diseño de un algoritmo de resolución numérica del proceso de oclusión. El algoritmo corresponde a la discretización del problema de evolución, primero en tiempo por el metido de diferencias finitas, y después en espacio por el método de los elementos finitos. 8. Programación del algoritmo en FreeFem++ para la visualización de resultados. Se concluye que los resultados obtenidos coinciden con los esperados por los expertos en los estudios realizados. Bibliografía [1] A. Hananel. Sistema Experto Difuso para el Pronóstico y Diagnóstico de Desórdenes Temporomandibulares utilizando Análisis Factorial y Elemento Finito. Tesis de Maestría en Ciencias con Mención en Matemática Aplicada de la Universidad Nacional de Piura, 2011. [2] A. Hananel. Sistema experto difuso para el pronóstico y diagnóstico de desórdenes temporomandibulares utilizando análisis factorial y elementos finitos. Revista MACI, 3:303-306, 2011. [3] A. Hananel. Aproximación univariante. Splines variacionales. Aplicación a desórdenes temporomandibulares. Trabajo Fin de Máster de la Universidad de Granada, Granada, 2012. [4] T.W.P. Korioth, D.P. Romilly, and A.G. Hannam. Three-dimensional finite element stress analysis of the dentate human mandible. American Journal of Physical Anthropology, 88:69-96, 1992. [5] E. Ohashi and D. Paredes. Factorial analysis of the diagnosis of temporomandibular disorders criteria¿s: Articular evaluation. Journal of Dental Research, 81:A458-A458, 2002. [6] M. Rodríguez. Aproximación de curvas y superficies a partir de problemas de contorno mediante métodos variacionales. Aplicaciones. Tesis Doctoral en Matemáticas de la Universidad de Granada, 2005. Vº Bº Vº Bº MIGUEL PASADAS FERNÁNDEZ MIGUEL LUIS RODRÍGUEZ GONZÁLEZ