Métodos topológicos y variaciones en el estudio de problemas de contorno resonantes con no linealidades periódicas

Résumé

Utilizando métodos topológicos y variacionales probamos la existencia de soluciones, así como ciertas propiedades cualitativas de las mismas, de una clase de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden con condiciones de frontera de tipo Dirichlet y no-linealidad T-periódica, Se describe el rango de ciertos operadores que determina el conjunto de soluciones de la correspondiente ecuación. Varias cuestiones que permanecían abiertas, planteadas por prestigiosos matemáticos de la talla internacional de Solinini, Ward, Dancer y otros, son parcial o totalmente resueltas en la presente tesis. En la primera parte se aborda la ecuación diferencial ordinaria utilizando de manera novedosa una combinación del Método Alternativa (o Reducción de Liapunov-Schmidt) sub y supersoluciones y el estudio de la topología de ciertos subconjuntos. Más adelante se analiza en profundidad la geometría del funcional de Euler, lo que da propiedades adicionales sobre la estructura del conjunto de puntos críticos y de mínimo global. La última parte está dedicada al estudio del correspondiente problema de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Con el empleo, principalmente, del Teorema de los Multiplicadores de Lagrange en dimensión infinita, se generalizan algunos resultados a una dimensión superior.