Contribución al problema de interpolación de Birkhoff

Resumen

El objetivo de esta tesis es desarrollar la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios. En la interpolación algebraica de Birkhoff se determina un polinomio de grado menor que n, para ello se emplean n condiciones que fijan el valor del polinomio o sus derivadas. Los problemas clásicos de interpolación de Lagrange, Taylor, Hermite, Hermite-Sylvester y Abel-Gontcharov son casos particulares de interpolación algebraica de Birkhoff. Un espacio de polinomios lacunarios de dimensión n es el conjunto de los polinomios que pueden generarse por combinación lineal de n potencias distintas de grados, en general, no consecutivos. En particular, cuando tomamos potencias de grados 0,1,,n-1, se obtiene el espacio de polinomios de grado menor que n, empleado en la interpolación algebraica clásica. En la interpolación algebraica clásica, el número de condiciones determina el espacio de interpolación. En contraste, en la interpolación mediante polinomios lacunarios las condiciones de interpolación determinan únicamente la dimensión del espacio de interpolación y pueden existir una infinidad de espacios sobre los que realizar la interpolación. Esto nos permite construir mejores estrategias de interpolación en ciertos casos, como la interpolación de funciones de gran crecimiento (interpolación de exponenciales y de ramas asintóticas). La aportación de la tesis consiste en la definición de un marco teórico adecuado para la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios y en la extensión al nuevo marco de los principales elementos de la interpolación algebraica de Birkhoff. En concreto, se generaliza la condición de Pólya, se caracteriza la regularidad condicionada, se establecen condiciones suficientes de regularidad ordenada que extienden el teorema de Atkhison-Sharma, se extiende la descomposición normal y se establecen condiciones suficientes de singularidad en los casos indescomponibles.