Aproximación no lineal con bases de ondiculas

Abstract

Introducción 1.1. Historia y motivación La aproximación de una función por una combinación lineal de vectores, elegidos de entre una colección pre jada, es una forma de aproximación con un rango de aplicaciones muy grande, desde el análisis al procesamiento de señales, estimación estadística y solución numérica de ecuaciones diferenciales. Es de destacar que la evolución de la teoría de aproximación y del cálculo numérico Siguieron más o menos la misma línea. Los primeros métodos utilizaron para la aproximación sub espacios vectoriales de dimensión ¯nita. En un principio, estos fueron, por regla general, los sub espacios de polinomios de grado N, tanto algebraicos como trigonométricos. Uno de los objetivos centrales de la teoría de aproximación es caracterizar el con- junto de funciones que tienen un orden de aproximación establecido por un determinado método de aproximación. De forma precisa, dado un esquema de aproximación f(X; k ¢ kX);§Ng; donde (X; k ¢ kX) es un espacio de funciones a aproximar y f§NgN¿1 es una colección de subconjuntos de X; sea ¿N(f;§N)X el error de aproximación de f 2 X por los elementos de §N; es decir, ¿N(f;§N)X := ³nf g2§N kf ¡ gkX (1.1) se pretende caracterizar las funciones f 2 X que tienen un dado orden de aproximación. Por ejemplo, se pretende describir el conjunto A®1(X;§N); ® > 0; que consiste de todas las funciones f 2 X que tiene un orden de aproximación ¿N(f;§N)X = O(N¡®); N ¡! 1: Una familia de espacios de aproximación más general se denota por A® q (X;§N); ®; q >0 y consiste de todas las funciones f 2 X tales que X1 N=1 [N®¿N(f;§N)]q 1 N (1.2)