Operador de dirac e hipersuperficies

Résumé

En la presente Tesis, se estudia el espectro del operador de Dirac en dos tipos de variedades riemannianas espinoriales: por un lado, en variedades compactas con frontera no vacía (en cuyo caso es necesario imponer condiciones de frontera adecuadas para poder hablar de espectro) y, por otro lado, en variedades que acotan dominios compactos dentro de otras variedades riemannianas espinoriales. Principalmente, se describen estimaciones inferiores para el módulo de los valores propios del operador de Dirac en este tipo de variedades y de estas acotaciones inferiores se deducen ciertas consecuencias geométricas globales. En el primer capítulo, se exponen los preliminares algebraicos que son necesarios para introducirse en el estudio del operador de Dirac. Dado el reducido número de monografías existentes sobre este tema, se realiza un estudio completo acerca de las estructuras analíticas y geométricas existentes sobre las variedades riemannianas espinoriales. Se describen, en términos de la teoría de cohomología de Cech, las obstrucciones topológicas que existen para que una variedad diferenciable pueda soportar una estructura espinorial. Se detallan las propiedades fundamentales del operador de Dirac y algunos teoremas relacionados con el mismo. Además, se analiza cómo se induce la estructura espinorial de una variedad riemanniana espinorial sobre cualquier hipersuperficie orientable suya, y se realiza un estudio acerca de la relación existente entre los respectivos operadores de Dirac de la variedad y su hipersuperficie. En el segundo capítulo, se hace un estudio del espectro del operador de Dirac en variedades riemannianas espinoriales compactas con frontera no vacía. En este caso, para poder considerar el espectro del operador de Dirac, es necesario restringir la clase de campos de espinores con los que se trabaja, y ello se consigue utilizando condiciones de frontera. Se utiliza la teoría de operadores pseudo-diferen